Cauchy 分布の期待値が定義できない理由

stats-06 で「Cauchy 分布の期待値は未定義」と一行書きました。「未定義」と「無限大」は別の状態で、その違いを積分の発散の仕方で説明できます。積分の上端・下端をどう動かすかで極限値が変わります。それが「未定義」という状態の正確な意味です。

親記事: 期待値

なぜこの補足が必要か

stats-06 の期待値の節では、期待値が定義できない例として Cauchy 分布を一文だけ挙げました。同じ節に Saint Petersburg のパラドックスも登場しますが、両者は別の状態にあります。Saint Petersburg の期待値は $+\infty$ として確定します。Cauchy の期待値は $+\infty - \infty$ という不定形になり、値すら確定しません。この違いを「絶対積分が有限かどうか」という一つの条件で説明できます。

その条件は stats-08（大数の法則・中心極限定理）の前提にも直結します。CLT の成立には「期待値が有限であること」が必要で、Cauchy 分布はその前提から外れます。stats-08 を読む前に「期待値有限」という仮定が何を意味するかを整理しておくことが、本補足の目的です。

Cauchy 分布の密度関数と期待値の計算が破綻する場所

Cauchy 分布の確率密度関数は次の式で定義されます。

定義

f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}

$f(x)$ は確率密度関数（その点での確率の「濃さ」を表す関数）、 $\pi$ は円周率 3.14159...、 $x$ は実数値です。この密度関数が確率の総和という条件を満たすことは、 $\arctan$ （逆正接関数）の不定積分から確認できます。

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\pi(1+x^2)}\,dx = \frac{1}{\pi}\left[\arctan x\right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})\right) = 1

密度関数としての条件（確率の総和が 1）は成立しています。問題は期待値の計算で起きます。

ここで破綻する

期待値の定義式 $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$ を Cauchy 密度に当てはめると、上半の積分と下半の積分がそれぞれ独立に無限大に発散します。「上半が $+\infty$ 、下半が $-\infty$ 」という構造が、期待値を「未定義」と扱う理由です。

上半の積分を計算します。 $\ln$ は自然対数（ $e \approx 2.718$ を底とする対数）を指します。

\int_0^b \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,dx = \frac{1}{2\pi}\ln(1+b^2)

$b \to \infty$ のとき $\ln(1+b^2) \to \infty$ なので、上半の積分は $+\infty$ に発散します。下半も同様で、

\int_a^0 \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,dx = -\frac{1}{2\pi}\ln(1+a^2) \to -\infty \quad (a \to -\infty)

上半が $+\infty$ 、下半が $-\infty$ に発散します。この発散は急速なものではなく、対数的にじわじわ進みます。以下の数値で確認できます。

上端 $b$	上半積分 $\dfrac{1}{2\pi}\ln(1+b^2)$
10	0.735
100	1.466
1,000	2.199
10,000	2.932

$b$ が 10 倍になるたびに積分値は約 0.733 ずつ増えます（対数スケールの均等増分）。これが「じわじわ・延々と」増え続け、止まりません。

横軸は積分の上端 $b$ 、縦軸はそこまでの上半積分の値です。青い曲線が $b$ を伸ばしたときの積分値の推移で、青い 2 点が $b=10$ （0.735）と $b=100$ （1.466）の具体値です。 $b$ を 10 倍にしても値は 2 倍程度しか増えず、対数的にしか伸びないことが分かります。

この曲線は $b$ とともに増え続けますが、その勾配は $b$ が大きくなるにつれ緩やかになります。水平になることはなく、確実に増え続けます。

未定義と無限大は別物です

上半が $+\infty$ 、下半が $-\infty$ になると、期待値の計算で「 $+\infty - \infty$ 」という形が現れます。この形は計算結果が一意に決まらない不定形です。どれだけ「一意に決まらない」かは、積分の上端 $b$ と下端 $a$ を独立にどう動かすかで確かめられます。

$\displaystyle I(a,b) = \int_a^b \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,dx$ とおきます。 $a \to -\infty, b \to \infty$ をどんな組み合わせで近づかせるかで、 $I(a,b)$ の極限値が変わります。

$a = -b$ （対称に伸ばす）のとき: 被積分関数の奇対称性から $I(-b, b) = 0$ （すべての $b$ で）
$a = -b/2$ （上端が下端の 2 倍速で遠ざかる）のとき: $\displaystyle\lim_{b\to\infty} I(-b/2,\,b) = \frac{\ln 2}{\pi} \approx 0.221$
$a = -2b$ （下端が上端の 2 倍速で遠ざかる）のとき: $\displaystyle\lim_{b\to\infty} I(-2b,\,b) = -\frac{\ln 2}{\pi} \approx -0.221$

同じ積分なのに、 $a$ と $b$ の「動かし方の比率」が変わると極限値が変わります。これが「答えが決まらない」ということの正確な意味です。

未定義の定義

$a = -b$ で対称に動かしたときの極限値 $0$ を「コーシー主値積分」と呼びます。しかしこれは期待値とは別の概念です。期待値の定義が要求するのは「 $a, b$ をどんな比率で $\pm\infty$ に動かしても同じ値に収束する」ことで、Cauchy 分布はその条件を満たしません。コーシー主値積分がゼロだからといって期待値がゼロだとは言えません。

この「動かし方に依存する」性質が成立するのは、絶対積分が発散するからです。

\int_{-\infty}^{\infty} |x| f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|x|}{\pi(1+x^2)}\,dx = \infty

絶対積分（ $|x|$ を掛けてから積分した値）が有限なら、積分の上端・下端をどう動かしても極限値は変わりません（絶対収束）。絶対積分が無限大なら、上端・下端の動かし方に依存します（条件付き収束）。Cauchy 分布は後者で、だから期待値が未定義になります。

$\int |x| f(x)\,dx = \infty$

上半が $+\infty$ 、下半が $-\infty$ 。両方が無限大なので引き算が不定形になります。積分の上端・下端の動かし方次第で極限値が変わります。期待値は「値として確定しません」。

$E[X] = +\infty$

$E[X] = \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \cdot \frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = +\infty$ のように、正の和だけが無限大に発散します。足す順番を変えても結果は変わりません。期待値は「 $+\infty$ として確定しています」。

「未定義」と「無限大に発散」は別の失敗です。Saint Petersburg の期待値 $+\infty$ は確定した答えを持ちます。Cauchy の期待値は答えが確定しません。

中央値・最頻値は存在する: 中心傾向の三者の独立性

Cauchy 分布の密度関数 $f(x) = 1/(\pi(1+x^2))$ のピークは $x = 0$ にあります。密度関数が $x = 0$ を軸に左右対称であることから、中央値も $0$ です。最頻値もピーク位置の $0$ 。両方とも普通の実数値として存在します。

平均と中央値・最頻値の独立性

stats-01 で平均・中央値・最頻値の三者を並べて紹介したとき、どれも「代表値」として定義可能な存在に見えました。Cauchy 分布では平均だけが定義できず、中央値と最頻値は定義できます。三者は互いに独立で、一方が存在するからといって他方が存在するとは限りません。

「平均がないのに中央値はある」という事実は直感に反します。中央値は「順位の中央」を見ており、裾の面積の振る舞いとは独立です。中央値は密度関数を左右に等分する点で、これは $f(x)$ の対称性から $0$ と確定します。一方、平均は「 $|x|$ で重みをつけた面積」に依存し、その重み付き面積が発散するから定義できません。

大数の法則・中心極限定理が要求する前提

Cauchy 分布から独立に $n$ 個の標本を取ったとき、標本平均 $\bar{X}_n = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n$ の分布は、 $n$ が増えても Cauchy 分布のまま変わりません。特性関数 $\varphi_X(t) = E[e^{itX}]$ （確率変数 $X$ の分布形を周波数 $t$ で記述する関数）を使って計算すると、 $\bar{X}_n$ の特性関数は $\varphi_{\bar{X}_n}(t) = e^{-|t|}$ となります。これは Cauchy 分布の特性関数そのものです。

$n$ が増えても $\bar{X}_n$ の分布は Cauchy 分布のまま変わりません。正規分布から取った標本平均が $n$ の増加とともに真の平均付近に集中するのと正反対の振る舞いです。これが大数の法則の成立しない実例です。

stats-08 への接続

大数の法則（LLN）は「期待値が有限であること」を前提とします。中心極限定理（CLT）はさらに「分散が有限であること」も要求します。Cauchy 分布は期待値の段階から既に前提を外れているため、LLN も CLT も成り立ちません。stats-08 で LLN・CLT を学ぶとき、「これらの前提が崩れた反例」として Cauchy 分布が頭にあると、定理の前提が何を守っているかが見えてきます。

Cauchy 分布と正規分布の密度関数を重ねて見ると、その違いが明確になります。

中心付近（ $|x| \lesssim 1$ ）では Cauchy と正規はほぼ同じ形をしています。違いは裾に出ます。 $|x| = 4$ 付近では、正規密度が事実上ゼロに達するのに対し、Cauchy 密度は $1/(\pi \cdot 17) \approx 0.019$ と、まだ有意な高さを保っています。Cauchy の裾の減衰は $1/x^2$ のオーダーで、正規の $e^{-x^2/2}$ のオーダーとは桁違いに遅いです。この裾の重さが $|x| \cdot f(x)$ の積分を発散させる物理的な原因です。

物理での Cauchy: ローレンツ分布と共鳴線幅

物理学では同じ密度関数をローレンツ分布と呼びます。原子・分子の電子遷移が放つ光のスペクトル線（共鳴吸収ピーク）の形がこの関数で記述され、半値半幅（HWHM） $\gamma$ がスケールパラメータとして現れます。NMR の吸収ピーク、共鳴回路の周波数応答も同じ関数形をとります。共鳴線の「中心周波数」は中央値・最頻値で定義され、物理学者が「平均周波数」を使う場面は存在しません。期待値が定義できないことは、物理計測の標準的な現場で「平均」ではなく「中心」が使われる理由として自然に現れています。

背景参考文献

Wikipedia 日本語版「コーシー分布」（密度関数・特性関数・標本平均が Cauchy のままという性質）
Wolfram MathWorld "Cauchy Distribution"（絶対モーメントが発散することの議論）
Wikipedia 英語版 "Lorentzian function"（物理学でのローレンツ分布・ローレンツ線形の解説）

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親記事: 期待値（期待値の定義と線形性）
関連: stats-08（大数の法則・中心極限定理）。CLT の前提「期待値有限・分散有限」の意味
関連用語: Cauchy 分布、絶対収束・条件付き収束