ベルヌーイ分布 | 用語集

ベルヌーイ分布とは、成功確率 $p$ のもとで $X = 1$ （成功）または $X = 0$ （失敗）のどちらかだけを取る確率変数の分布です。確率変数が 2 つの値しか持たない、確率分布の中で最小の構成です。

定義

確率変数 $X$ がベルヌーイ分布に従うとき、 $X$ の取りうる値は $0$ と $1$ の 2 つだけで、それぞれの確率は次の通りです。

P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p, \quad 0 \le p \le 1

$p$ を「成功確率」と呼びます。この 2 式を 1 本の式にまとめると、確率質量関数（PMF: probability mass function）は次のように書けます。

P(X = k) = p^k (1 - p)^{1-k}, \quad k \in \{0,\, 1\}

$k = 1$ を代入すると $p^1 (1-p)^0 = p$ 、 $k = 0$ を代入すると $p^0 (1-p)^1 = 1 - p$ になり、上の 2 式に戻ります。記号を確認しておきます。 $X$ はベルヌーイ確率変数、 $p$ は成功確率（ $0$ 以上 $1$ 以下の実数）、 $k$ は $X$ の取りうる値です。

性質

期待値: $E[X] = p$ 。確率そのものが期待値になります
分散: $\mathrm{Var}[X] = p(1-p)$ 。 $p = 1/2$ のとき最大値 $1/4$ を取ります
特殊例 $p = 1/2$ : 公平なコインに対応します。このとき分散は最大で、結果が最も予測しにくい状態です
二項分布との関係: $n$ 個の独立同一ベルヌーイ確率変数の和が二項分布 $B(n, p)$ になります。ベルヌーイ分布は $n = 1$ の二項分布です
2 値分布の中で最小の構造: 離散確率変数が取れる最少の値の数は 2 です。ベルヌーイ分布はその最小構成で、確率の合計は $p + (1-p) = 1$ です

視覚的に見る

$p = 0.3$ のベルヌーイ分布の確率質量を 2 本の縦棒で示します。横軸は $k \in \{0, 1\}$ 、縦軸は各値の確率です。

図を見て把握すべきことは 2 つです。第一に、ベルヌーイ分布の確率質量は 2 本の棒だけです。連続分布（正規分布など）が曲線で表されるのに対し、ベルヌーイ分布は $k = 0$ と $k = 1$ の 2 点にしか確率が乗りません。第二に、期待値 $E[X] = p = 0.3$ の縦線（青）は $0$ と $1$ の間に位置しますが、 $X$ はこの値を取りません。期待値は「分布の重心」であって、実際に起こる値ではない点に注意が必要です。 $p$ を $0.1$ や $0.9$ に変えると、それぞれ左の棒が高くなる・右の棒が高くなるという変化が起き、期待値の縦線はその位置に追従します。

実世界での使われ方

臨床試験の主要評価項目では、患者ごとに「奏効した（ $X = 1$ ）」「奏効しなかった（ $X = 0$ ）」の 2 値を記録します。厚生労働省「医薬品の臨床試験の実施に関する基準（GCP 省令）」が定めるエンドポイントでは、各患者の応答がベルヌーイ確率変数 $X_i$ です。 $n$ 名の合計 $\sum X_i$ は二項分布 $B(n, p)$ に従い、奏効率の信頼区間の導出に使われます。

Web 広告・サイト改修の A/B テストでは、訪問者 1 人ごとに「クリックした（ $X = 1$ ）」「しなかった（ $X = 0$ ）」を記録します。総務省「令和 5 年通信利用動向調査」が集計するような Web 利用統計は、ベルヌーイ試行の累積として扱えます。クリック率の推定精度はサンプル数 $n$ と成功確率 $p$ の関数で決まり、 $p(1-p)/n$ が分散の縮小速度を与えます。

金融のデフォルト評価では、企業 1 社の 1 年後の状態を「デフォルトした（ $X = 1$ ）」「しなかった（ $X = 0$ ）」で記号化します。日本銀行「金融システムレポート」が用いる信用リスク評価では、企業ごとのデフォルト指示変数 $I_{\text{default}}$ がベルヌーイ確率変数です。ポートフォリオ全体の損失分布は $\sum I_{\text{default},\, i}$ の分布として近似され、個々の $X_i$ のパラメータ $p$ がデフォルト確率（PD: probability of default）に対応します。

深掘り

指示変数としての見方は他分野とのつながりを示す発展で、定義を理解するだけなら不要です。

指示変数としてのベルヌーイ確率変数

任意の事象 $A$ に対し、指示変数（indicator variable） $I_A$ を次のように定義します。

I_A(\omega) = \begin{cases} 1 & (\omega \in A) \\ 0 & (\omega \notin A) \end{cases}

$I_A$ はパラメータ $p = P(A)$ のベルヌーイ確率変数です。ここから $E[I_A] = P(A)$ という等式が直ちに出ます。「期待値は確率の一般化」という発想の起点です。この見方は実用的で、例えば「事象 $A$ と $B$ が排反でないとき $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 」という包除公式は、 $I_{A \cup B} = I_A + I_B - I_{A \cap B}$ の両辺の期待値を取る操作として書き直せます。指示変数を経由すると、確率の計算が期待値の計算に統一されます。

二項分布の構成要素としての位置

$n$ 個の独立同一分布（i.i.d.）なベルヌーイ確率変数 $X_1, \ldots, X_n$ の和

S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n

は二項分布 $B(n, p)$ に従います。i.i.d. の「独立（i）」と「同一分布（i.d.）」の 2 つの仮定は、モーメントの計算で異なる役割を果たします。期待値の線形性は独立性を必要とせず、 $E[S_n] = n E[X_1] = np$ が出ます。一方、分散の加法性 $\mathrm{Var}[S_n] = n \mathrm{Var}[X_1] = np(1-p)$ には独立性が必要です。「i.d.」は各 $X_i$ が同じ $p$ を持つという条件で、 $E[S_n]$ の計算で $E[X_1]$ を $n$ 倍できる根拠になります。stats-06 節 6 で扱った「二項分布の期待値が 2 行で出る」という結果の背後にある構造です。

$p = 1/2$ で分散が最大になる理由

$\mathrm{Var}[X] = p(1-p)$ を $p$ について微分すると $1 - 2p$ です。 $p = 1/2$ で微分がゼロになり、最大値 $1/4$ を取ります。この最大性は「コインが公平なときに結果が最も予測しにくい」という直感に対応します。

情報理論の言葉では、この直感をエントロピー

H(X) = -p \log p - (1-p) \log(1-p)

として定式化できます。 $H(X)$ も $p = 1/2$ で最大値 $\log 2$ （1 ビット）を取ります。「2 値分布の中で最も予測困難」「最も分散が大きい」「最もエントロピーが高い」の 3 つの意味での「最大性」が同じ点 $p = 1/2$ で揃います。この対応は偶然ではなく、分散もエントロピーもともに「分布のばらつき」を測る量だという共通の背景から来ています。ベルヌーイ分布を通すと、確率論と情報理論がともに「ばらつき」を別の言葉で測っていることが見えてきます。

よくある誤解

ベルヌーイ分布は「0 と 1 しか取らない」離散分布なので、連続曲線（密度関数）は存在しません。確率質量は 2 本の縦棒だけです。また、 $p$ は「必ず $1/2$ 」ではありません。公平なコインは $p = 1/2$ の特殊例で、 $p$ は $[0, 1]$ の任意の値を取れます。

この用語を扱う本編記事

stats-06: 期待値の線形性（ベルヌーイ確率変数を導入し、 $n$ 個の和として二項分布を構成して $E[B(n,p)] = np$ を 2 行で導く節 6 を収録しています）

定義

性質